[include(틀:고전역학)]
[목차]
== 개요 ==
{{{+1 inertia tensor}}}

관성 텐서는 기존 [[관성 모멘트]]가 회전축에 따라 달라지는 것을 보완하고, 평면상의 강체 회전뿐만 아니라 [[3차원]]상의 회전을 기술하기 위한 [[관성 모멘트]]에 대응하는 물리량이다.

== 사전 배경 ==
각운동량 [math( \mathbf{L} )]은 각속도 [math( \boldsymbol{\omega} )]와 다음과 같은 관계에 있음을 안다. [[각운동량#s-2]] 문서 참고.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(  \displaystyle \mathbf{L}=I \boldsymbol{\omega}  )] }}}
위의 식을 그대로 해석하면, 관성 모멘트 [math( I )]는 [[스칼라]]이며, '각운동량과 각속도는 서로 평행해야 한다'라는 말이 된다. 그러나, 이것은 강체가 회전축을 중심으로 회전할 때이며, 3차원상에서 강체는 회전축을 바꾸면서 회전[* 쉽게 볼 수 있는 예가 [[팽이]]의 [[세차운동]]이다.]할 수 있기 때문에 각운동량과 각속도는 평행하지 않을 수 있다. 따라서 관성 모멘트 [math( I )]는 [[스칼라]]가 될 수 없다. 

결론부터 얘기하면, [math( I )]는 [[스칼라]], [[벡터]]보다 고급인 함수인데, 바로 [[텐서]]이다. 
== 관성 텐서의 도출 ==
우선 관성 텐서를 회전 운동 에너지로부터 도출해보자.

[[파일:나무_관성텐서_유도_수정.png|width=190&align=center]]
그림과 같이 고정 좌표계인 [math( x_{i}' )]계와, 강체의 질량 중심 [math( \textrm{O} )]를 원점으로 하고 강체와 같이 회전하는 회전 좌표계(강체 좌표계) [math( x_{i} )]계를 고려하자. 이때 회전 좌표계가 고정 좌표계에 대해 [math( \boldsymbol{\omega} )]로 회전한다 하면, 아래가 성립한다. 자세한 것은 [[비관성 좌표계]] 문서 참조.
||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:>[math(  \displaystyle \left( \frac{d \mathbf{r'}_{\alpha}}{dt} \right)_{\textrm{fixed}}=\left( \frac{d \mathbf{R}}{dt} \right)_{\textrm{fixed}}+\left( \frac{d \mathbf{r}_{\alpha}}{dt} \right)_{\textrm{rotating}}+\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}_{\alpha} )]||
이때 각 항의 의미는 아래와 같다.
 * [math( \displaystyle \left( \frac{d \mathbf{r'}_{\alpha}}{dt} \right)_{\textrm{fixed}} )]: '''고정 좌표계'''에서 측정한 질점 [math( m_{\alpha} )]의 속도.
 * [math( \displaystyle \left( \frac{d \mathbf{R}}{dt} \right)_{\textrm{fixed}} )]: '''고정 좌표계'''에서 측정한 회전 좌표계의 원점에 대한 속도.
 * [math( \displaystyle \left( \frac{d \mathbf{r}_{\alpha}}{dt} \right)_{\textrm{rotating}} )]: '''회전 좌표계'''에서 측정한 질점 [math( m_{\alpha} )]의 속도.
 * [math( \displaystyle \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}_{\alpha} )]: 회전 좌표계의 회전에 의한 질점 [math( m_{\alpha} )]의 속도.

이때, 강체는 정의상 각 질점의 위치는 회전 좌표계에 대해 변하지 않는다. 따라서
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(  \displaystyle \left( \frac{d \mathbf{r'}_{\alpha}}{dt} \right)_{\textrm{fixed}} \equiv \mathbf{v}_{\alpha} \qquad \qquad \left( \frac{d \mathbf{R}}{dt} \right)_{\textrm{fixed}}\equiv \mathbf{V} )] }}}
라 정의하면 다음이 성립한다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(  \displaystyle \mathbf{v}_{\alpha}=\mathbf{V}+\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}_{\alpha} )] }}}
따라서 강체의 위치 에너지는 각 질점에 해당하는 운동 에너지를 모두 더한 것이므로 다음이 성립한다.
||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:>[math(\begin{aligned}\displaystyle T&=\sum_{\alpha} \frac{1}{2}m_{\alpha}({\mathbf{v}}_{\alpha}  {\mathbf{v}}_{\alpha} )=\sum_{\alpha} \frac{1}{2} m_{\alpha}[(\mathbf{V}+\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}_{\alpha})  (\mathbf{V}+\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}_{\alpha}) ]\\&=\sum_{\alpha} \frac{1}{2} m_{\alpha}V^{2}+\sum_{\alpha} \frac{1}{2} m_{\alpha}(\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}_{\alpha})^{2}+\mathbf{V}  \left (  \boldsymbol{\omega} \times \sum_{\alpha} m_{\alpha}  \mathbf{r}_{\alpha} \right)\end{aligned})]||
이때, [math(  \sum_{\alpha} m_{\alpha}  \mathbf{r}_{\alpha}  )]는 질량중심을 나타내는 벡터에 강체의 전체 질량을 곱한 것이고, [math(   \mathbf{r}_{\alpha}  )]가 질량중심을 시점으로 하는 벡터임에 따라 [math(  0  )]이 되므로 우변의 제3항은 [math( 0 )]이 된다. 따라서 강체의 운동 에너지는 두 항으로 분리된다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(  \displaystyle T= \sum_{\alpha} \frac{1}{2} m_{\alpha}V^{2}+\sum_{\alpha} \frac{1}{2} m_{\alpha}(\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}_{\alpha})^{2} )] }}}
이때, [math(  \sum_{\alpha} m_{\alpha} \equiv M )]으로 강체의 전체 질량이 됨에 따라 다음이 성립한다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(  \displaystyle T= \frac{1}{2} MV^{2}+\sum_{\alpha} \frac{1}{2} m_{\alpha}(\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}_{\alpha})^{2} )] }}}
이때 다음을 각각 강체의 '''병진 운동 에너지'''와 '''회전 운동 에너지'''라 한다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(  \displaystyle  \frac{1}{2} MV^{2} \equiv T_{\textrm{trans}} \qquad \qquad \sum_{\alpha} \frac{1}{2} m_{\alpha}(\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}_{\alpha})^{2} \equiv T_{\textrm{rotating}} )] }}}
이때, [math( (\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}_{\alpha})^{2} = (\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}_{\alpha})(\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}_{\alpha}) )]를 이용하여, 회전 운동 에너지 항을 다시 쓰면,
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(  \displaystyle  \sum_{\alpha} \frac{1}{2} m_{\alpha}[\omega^{2} r_{\alpha}^{2}-(\boldsymbol{\omega} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{r}_{\alpha})^{2}]  )] }}}
이때, 각 벡터의 성분을 밝혀 적으면, 
||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:>[math(  \displaystyle  \sum _{\alpha} \frac{1}{2}m_{\alpha}\left [ \left ( \sum _{i} \omega_{i}^{2} \right ) \left ( \sum _{k} x_{\alpha k}^{2} \right )-\left ( \sum _{i} \omega_{i}x_{\alpha i} \right ) \left ( \sum _{j} \omega_{j}x_{\alpha j} \right ) \right ]  )]||
이다. 여기서 [math( x_{\alpha i} )]는 [math( \alpha )]번째 질점의 [math( x_{i} )]좌표를 뜻한다. 이때, [[크로네커 델타]]를 사용하면, [math( \sum_{j} \delta_{ij} \omega_{j}=\omega_{i} )]가 되므로 위 식을 다시 쓰면,
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(  \displaystyle   \sum_{ij}\frac{1}{2} \omega_{i}\omega_{j} \left \{ \sum _{\alpha} m_{\alpha} \left [  \delta_{ij}\left ( \sum_{k} x_{\alpha k}^{2} \right )-x_{\alpha i}x_{\alpha j}  \right ] \right \}  )] }}}
이때 다음을 '''관성 텐서(inertia tensor)'''로 정의한다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(  \displaystyle I_{ij} \equiv \sum _{\alpha} m_{\alpha} \left [  \delta_{ij}\left ( \sum_{k} x_{\alpha k}^{2} \right )-x_{\alpha i}x_{\alpha j}   \right ] )] }}}
관성 텐서는 2차 텐서이며, 행렬 꼴로 나타내면 다음과 같다.
||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:>[math(   \pmb{\mathsf{I} }=\begin{bmatrix} \displaystyle \sum_{\alpha}m_{\alpha}(x_{2}^{2}+x_{3}^{2})  &\displaystyle -\sum_{\alpha}m_{\alpha}x_{1}x_{2} & \displaystyle -\sum_{\alpha}m_{\alpha}x_{1}x_{3} \\ \displaystyle -\sum_{\alpha}m_{\alpha}x_{2}x_{1} & \displaystyle \sum_{\alpha}m_{\alpha}(x_{1}^{2}+x_{3}^{2})  & \displaystyle -\sum_{\alpha}m_{\alpha}x_{2}x_{3} \\ \displaystyle -\sum_{\alpha}m_{\alpha}x_{3}x_{1} & \displaystyle -\sum_{\alpha}m_{\alpha}x_{3}x_{2} & \displaystyle \sum_{\alpha}m_{\alpha}(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})\end{bmatrix})]||
관성 텐서는 대칭행렬이기 때문에 [math( I_{ij}=I_{ji} )]가 성립하므로, [math( I_{11},\,I_{22},\,I_{33},\,I_{12},\,I_{13},\,I_{23} )]만 구하면 되며, 대각 성분인 [math( I_{ii} )]를 [math( x_{i} )]축 주위의 관성 모멘트라 하고, 그 외의 성분인 [math( I_{ij}\,(i \neq  j) )]를 관성곱이라 한다.

연속체의 경우 합은 적분으로 대체할 수 있으므로 밀도함수 [math( \rho(\mathbf{r}) )]를 이용하면 다음과 같이 쓸 수 있다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(  \displaystyle I_{ij} \equiv \int \rho(\mathbf{r}) \left [  \delta_{ij}\left ( \sum_{k} x_{ k}^{2} \right )-x_{ i}x_{ j}   \right ] dV )] }}}
따라서 이를 이용하면 회전 운동 에너지를 다음과 같이 표기할 수 있다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(  \displaystyle  T_{\textrm{rotating}}=\frac{1}{2} \sum_{ij} I_{ij} \omega_{i}\omega_{j}=\frac{1}{2}\boldsymbol{\omega}^T\boldsymbol{\pmb{\mathsf{I} } }\boldsymbol{\omega} )] }}}
== 각운동량의 기술 ==
강체의 각운동량은 각 질점의 각운동량의 합과 같으므로
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(\begin{aligned}\displaystyle  \mathbf{L}&=\sum_{\alpha} \mathbf{r}_{\alpha} \times \mathbf{p}_{\alpha}=\sum_{\alpha} \mathbf{r}_{\alpha} \times (m_{\alpha} \mathbf{v}_{\alpha})\\&=\sum_{\alpha}m_{\alpha} \mathbf{r}_{\alpha} \times ( \boldsymbol{\omega}_{\alpha} \times \mathbf{r}_{\alpha})\end{aligned})] }}}
벡터 항등식을 이용하여 다시 쓰면,
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(  \displaystyle  \mathbf{L} =\sum_{\alpha}m_{\alpha}\left [  r_{\alpha}^{2}\boldsymbol{\omega}-(\boldsymbol{\omega}  \mathbf{r}_{\alpha}) \mathbf{r}_{\alpha} \right ] )] }}}
벡터의 성분을 밝혀 적으면,
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(  \displaystyle  L_{i}= \sum_{\alpha} m_{\alpha} \left [ \omega_{i}\left ( \sum_{k} x_{\alpha k}^{2} \right )- x_{\alpha i} \left ( \sum_{j} \omega_{j}x_{\alpha j} \right ) \right ]  )] }}}
이것 또한 [[크로네커 델타]]를 사용하여 다시 쓰면,
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(  \displaystyle L_{i} = \sum_{j} \omega_{j} \left \{ \sum_{\alpha} m_{\alpha} \left [ \delta_{ij} \left ( \sum_{k} x_{\alpha k}^{2} \right )- x_{\alpha i} x_{\alpha j} \right ] \right \} )] }}}
이때, 중괄호로 처리한 항은 위에서 도출했던 관성 텐서이므로 각운동량은 아래와 같이 쓸 수 있다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(  \displaystyle L_{i} = \sum_{j} I_{ij} \omega_{j} )] }}}
이것을 텐서 표기법으로 쓰면 다음과 같다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(  \displaystyle \mathbf{L} =  \boldsymbol{\pmb{\mathsf{I} } }  \boldsymbol{\omega} )] }}}
따라서 위에서 했던 3차원 회전에선 관성 모멘트 항이 스칼라가 아닌 [[텐서]]이어야 한다. 

각운동량 식에서 양변에 [math( \omega_{i}/2 )]를 곱하고 [math( i )]에 대한 합을 구하면
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(  \displaystyle \sum_{i} \frac{1}{2} \omega_{i}   L_{i} = \sum_{ij} \frac{1}{2} I_{ij} \omega_{i} \omega_{j}  )] }}}
를 얻고, 우변은 위에서 얻었던 회전 운동 에너지이다. 따라서 다음을 얻는다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(  \displaystyle T_{\textrm{rotating}}=\frac{1}{2} \boldsymbol{\omega}  \mathbf{L}=\frac{1}{2} \boldsymbol{\omega}  \boldsymbol{\pmb{\mathsf{I} } }  \boldsymbol{\omega} )] }}}

== 관련 정리 ==
=== 임의의 축에 대한 관성 모멘트 ===
이번에는 관성 텐서를 이용하여, 임의의 축에 대한 강체의 관성 모멘트를 어떻게 구하는지 알아보자.

[[파일:관성텐서임의의축(수정본).png|width=80&align=center]]
위 그림과 같이 각속도 [math( \boldsymbol{\omega} )]로 회전하는 강체를 생각해보자. 이때, 각속도 벡터와 평행하면서, 원점 [math( \textrm{O} )]를 지나는 축을 회전축이라 고려해보자. 이 회전축의 방향 벡터 [math( \hat{\mathbf{n}} )]를 방향 코사인으로 나타내면,
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(  \displaystyle \hat{\mathbf{n}}=(\cos{\alpha},\,\cos{\beta},\, \cos{\gamma})  )] }}}
이라 나타낼 수 있고, 관성 모멘트의 정의에서 해당 축에 대한 관성 모멘트는 다음과 같다. 프라임은 축으로부터 수직으로 측정된 거리임을 강조하기 위해 붙인 것이다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(  \displaystyle I = \sum_{\alpha} m_{\alpha} {r'}_{\alpha}^{2} )] }}}
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(   {r'}_{\alpha}^{2} = (r_{\alpha} \sin{\theta_{\alpha}})^{2} = \left| \hat{\mathbf{n}} \times \mathbf{r}_{\alpha} \right|^{2}  )] }}}
이다. 이때, [math(  \displaystyle \hat{\mathbf{n}}=(\cos{\alpha},\,\cos{\beta},\, \cos{\gamma})  )]와 [math(  \mathbf{r}_{\alpha}=\sum_{i} \mathbf{x}_{ai}  )]임을 이용하면, 다음을 얻는다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(   I=\begin{bmatrix}\cos{\alpha} & \cos{\beta}  & \cos{\gamma} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}I_{11} & I_{12} & I_{13} \\ I_{21} & I_{22}  & I_{23} \\ I_{31} & I_{32}  & I_{33}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\cos{\alpha}\\ \cos{\beta} \\ \cos{\gamma} \end{bmatrix}  )] }}}
이때 다음이 성립한다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(   \displaystyle I_{ij} \equiv \sum _{\alpha} m_{\alpha} \left [  \delta_{ij}\left ( \sum_{k} x_{\alpha k}^{2} \right )-x_{\alpha i}x_{\alpha j}   \right ]  )] }}}
이것을 텐서 기호로 나타내면 다음과 같다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(  \displaystyle I = \boldsymbol{\lambda}^{T}  \boldsymbol{\pmb{\mathsf{I} } }  \boldsymbol{\lambda} )] }}}
여기에서 [math( \begin{bmatrix}\cos{\alpha}\\ \cos{\beta} \\ \cos{\gamma} \end{bmatrix} \equiv \boldsymbol{\lambda} )]로, 축의 방향 벡터의 성분을 열벡터로 나타낸 것이며, [math( \boldsymbol{\lambda}^{T} )]는 [math( \boldsymbol{\lambda} )]의 [[전치행렬]]을 뜻한다.

=== 평행축 정리 ===
[[파일:관성텐서평행축정리(수정본).png|width=180&align=center]]

위 그림과 같이 강체의 질량중심이 아닌 [math( \textrm{Q} )]를 원점으로 잡은 [math( X_{i} )]계를 벡터 [math( \mathbf{a} )]만큼 평행이동하여 강체의 질량중심인 [math( \textrm{O} )]가 원점인 좌표계 즉, 처음에 관성 텐서를 유도할 때 쓴 [math( x_{i} )]계를 고려해보자. 이때,  [math( X_{i} )]계에서 측정된 관성 텐서의 성분을 [math( J_{ij} )]라 놓으면,
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(  \displaystyle J_{ij} = \sum _{\alpha} m_{\alpha} \left [  \delta_{ij}\left ( \sum_{k} X_{\alpha k}^{2} \right )-X_{\alpha i}X_{\alpha j}   \right ] )] }}}
이때, 다음이 성립한다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(  \displaystyle \mathbf{R}_{\alpha}=\mathbf{r}_{\alpha}+\mathbf{a} )] }}}
따라서 위의 관성 텐서는 다음과 같다.
||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math( \displaystyle J_{ij} = \sum _{\alpha} m_{\alpha} \left [  \delta_{ij}\left \{ \sum_{k} (x_{\alpha k}+a_{k})^{2} \right \}-(x_{\alpha i}+a_{i})(x_{\alpha j}+a_{j})  \right ] )] ||
이때, 이것을 전개하여 다시 쓰면,
||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:>[math(\begin{aligned}\displaystyle J_{ij}&= \sum _{\alpha} m_{\alpha} \left [  \delta_{ij}\left ( \sum_{k} x_{\alpha k}^{2} \right )-x_{\alpha i}x_{\alpha j} \right ]+\sum _{\alpha} m_{\alpha} \left [  \delta_{ij}\left ( \sum_{k} a_{k}^{2} \right )-a_{ i}a_{ j}   \right ]\\&-2\sum _{\alpha} m_{\alpha} \left[ \delta_{ij} \sum_{k} x_{\alpha k}a_{k}-(x_{\alpha i} a_{j}+x_{\alpha j} a_{i}) \right]\end{aligned})]||
이때, 우변의 제1항은 위에서 계산했던, [math( x_{i} )]계에서 측정된 관성 텐서의 성분인 [math( I_{ij} )]이고, 제2항에서 [math( \sum _{\alpha} m_{\alpha} \equiv M )]으로 강체의 전체 질량이며, 제3항은 [math( \sum _{\alpha } m_{\alpha} x_{\alpha } =\sum _{\alpha } m_{\alpha} \mathbf{r}_{\alpha} )]로 강체의 질량중심 벡터를 나타내는 항의 계산이 포함되어 있다. 그러나, [math( x_{i} )]계의 원점이 강체의 질량중심이므로 이 항이 포함된 항은 모두 [math( 0 )]이 되므로 제3항은 없어진다.

따라서 다음과 같이 [[관성 모멘트]] 문서에서 "평행축 정리"로 논했던 것의 일반형을 얻는다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(\displaystyle J_{ij} = I_{ij}+M \left [  \delta_{ij}\left ( \sum_{k} a_{k}^{2} \right )-a_{ i}a_{ j}   \right ]   )] }}}
== 관성 주축 ==
위에서 3차원상에서 강체의 회전 운동 시 각운동량과 각속도는 서로 평행하지 않음을 알아냈다. 그러나, '''특정 축에선 이들이 평행할 수 있다.''' 그러한 축을 '''관성 주축'''이라 한다. 즉, 
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(  \displaystyle \mathbf{L}=I \boldsymbol{\omega}  )] }}}
를 만족시키는 축을 구하려고 하는 것이다. 따라서 다음을 만족시켜야 한다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(  \displaystyle \boldsymbol{\pmb{\mathsf{I} } }  \boldsymbol{\omega} =I \boldsymbol{\omega}  )] }}}
이때, 단위 텐서 [math( \boldsymbol{\pmb{\mathsf{E} } } )][* 관성 텐서가 2차 텐서이므로 여기서 단위 텐서는 단위 행렬을 말한다.]를 이용하면,
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(  \displaystyle (\boldsymbol{\pmb{\mathsf{I} } }-I \boldsymbol{\pmb{\mathsf{E} }} )  \boldsymbol{\omega} =0  )] }}}
로 식을 바꿀 수 있다. 이것을 행렬 꼴로 바꾸면, 
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(  \displaystyle \begin{bmatrix}I_{11}-I & I_{12}  & I_{13} \\ I_{21} & I_{22}-I  & I_{23} \\ I_{31} & I_{32} & I_{33}-I  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\omega_{1}\\ \omega_{2}\\ \omega_{3}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\ 0\\ 0\end{bmatrix} )] }}}
이때, [math(  I )]가 [math(  0 )]을 제외한 해를 갖기 위해선 행렬식
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(  \displaystyle \begin{vmatrix}I_{11}-I & I_{12}  & I_{13} \\ I_{21} & I_{22}-I  & I_{23} \\ I_{31} & I_{32}  & I_{33}-I  \end{vmatrix}=0 )] }}}
을 만족시켜야 한다.

따라서 '''관성 주축을 구하는 것은 행렬의 대각화 과정과 동일'''한 셈이다. 이때, 대각화 과정에서 구해지는 고윳값이 해당 주축의 관성 모멘트에 해당하게 되고, 또한 고유벡터[* 여기서는 각속도 벡터가 구해지는데, 각속도는 회전축과 평행하다. 즉, 여기서 구해지는 각속도 벡터가 곧 주축이라 볼 수 있다.]가 곧 주축에 대응하게 된다.  

정리하면, 대각화 과정을 거친 후 얻은 고윳값 [math( I )]가 주축의 관성 모멘트이고, 해당 고윳값으로 구해진 각속도 벡터
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(  \displaystyle \boldsymbol{\omega}= (\omega_{1}, \, \omega_{2}, \, \omega_{3}) )] }}}
가 주축이 된다.

주축의 관성 모멘트는 각 축에 대해 여러 값이 주어질 수 있으며, 이때 그 구해진 축으로 강체의 좌표계를 정하게 되면, 관성 텐서는 다음과 같은 꼴이 된다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(  \displaystyle \boldsymbol{\pmb{\mathsf{I} } } = \begin{bmatrix}I_{1} &0  &0 \\ 0 & I_{2}  &0 \\ 0 &0  & I_{3}\end{bmatrix} )] }}}
관성 주축은 어떤 직선으로 주어지는 것뿐만 아니라, 평면(축의 임의성이 존재)으로 주어질 수 있기도 하다.

관성 텐서는 [[대각행렬]] 및 [[대칭행렬]]이기 때문에 구해진 주축은 모두 직교하며, 주축의 관성 모멘트는 [[실수(수학)|실수]]가 된다. [[대칭행렬]], [[스펙트럼 정리]] 참조. 이것에 대한 증명은 수준상 생략한다.

== 관성 텐서 도입의 장점 ==
관성 모멘트의 정의에서 같은 물체를 회전시키더라도 회전축이 어디냐에 따라 관성 모멘트가 달라질 수 있다는 것을 알 수 있다. 따라서 이 불편함을 해결하기 위해 관성 텐서가 도입되었다.

관성 텐서는 회전운동에 대한 역학을 엄밀하게 정의하는 데 상당한 도움이 된다. 예를 들면, 각운동량과 각속도 역시 벡터량이므로 주어지는 기존의 각운동량과 각속도의 관계 식[* [math( L=I \omega )]]에서 관성 모멘트를 관성 텐서로 대치하면 각운동량과 각속도를 각 방향 성분으로 나누어 계산해야만 하는 기존 공식과 달리 3차원 운동에서도 각운동량과 각속도를 그대로 벡터량으로 둔 채로 취급이 가능하다.

== 관련 문서 ==

 * [[고전역학]]
 * [[운동량]]
 * [[운동 에너지]]
 * [[관성 모멘트]]
 * [[야코비 행렬]]
[각주]
[include(틀:문서 가져옴, title=관성 모멘트, version=100)]
[[분류:물리학]][[분류:역학]]