이곳은 개발을 위한 베타 사이트 입니다.기여내역은 언제든 초기화될 수 있으며, 예기치 못한 오류가 발생할 수 있습니다.문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 가측함수 (문단 편집) === 가측함수 === 두 가측공간 [math((X,\ \mathcal{M}))]과 [math((Y,\ \mathcal{N}))]에 대하여 함수 [math(f:X\to Y)]가 임의의 [math(E\in\mathcal{N})]에 대하여 [math(f^{-1}(E)\in\mathcal{M})]을 만족시키면 [math(f)]를 '''[math((\mathcal{M,\ N}))]-가측함수'''라고 한다. [math(Y)]가 보렐 [math(\sigma)]-대수가 주어진 실수 또는 복소수 집합인 경우 [math(f)]를 [math(\mathcal{M})]-가측함수라고 한다. 특히 [math((X,\ \mathcal{M})=(\mathbb{R},\ \mathcal{L}))]이고 [math((Y,\ \mathcal{N})=(\mathbb{R},\ \mathcal{B}_{\mathbb{R}}))]일 때, [math(f)]를 '''르베그 가측'''함수라고 한다. 가측함수는 [math(X)]의 부분집합으로 축소할 수 있다. [math(E\subset X)]에 대하여 모든 보렐 집합 [math(B)]가 [math(f^{-1}(B)\cap E \in \mathcal{M})]이면 [math(f)]는 [math(E)]에서 가측이라고 한다. 이는 [math(\sigma)]-대수 [math(\mathcal{M}_E=\{E\cap F\ |\ F\in \mathcal{M}\})]가 주어진 부분집합 [math(E)]에 대한 [math(f)]의 제한 사상 [math(f|_E)]가 가측임과 동치이다. 공역에 주어진 [math(\sigma)]-대수가 생성 집합족을 갖는 경우, 함수의 가측성의 판단은 생성 집합족의 원소로 한정할 수 있다. 즉, [math(\mathcal{N})]이 [math(\mathcal{E})]로 생성되는 [math(\sigma)]-대수일 때, 함수 [math(f:X\to Y)]가 [math((\mathcal{M,\ N}))]-가측함수일 필요충분조건은 모든 [math(E\in\mathcal{E})]에 대하여 [math(f^{-1}(E)\in\mathcal{M})]인 것이다. 이로부터 몇 가지 주요한 성질을 얻을 수 있다. 첫째, 보렐 [math(\sigma)]-대수는 열린집합족으로 생성되므로 두 거리(위상)공간 [math(X)], [math(Y)]에 모두 보렐 [math(\sigma)]-대수가 주어졌을 때, 연속함수 [math(f:X\to Y)]는 [math((\mathcal{B}_X,\ \mathcal{B}_Y))]-가측함수이다. 둘째, 실수의 보렐 [math(\sigma)]-대수는 [math(\{(a,\ \infty)\ |\ a\in\mathbb{R}\})]로 생성되므로 [math(\mathcal{M})]-가측함수 [math(f:X\to\mathbb{R})]를 임의의 [math(a\in\mathbb{R})]에 대하여 [math(f^{-1}((a,\ \infty))\in\mathcal{M})]를 만족시키는 함수 [math(f)]로 정의할 수 있다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기